Производная, интегралы примеры решений

Частные производные. Метод наименьших квадратов.

Пример. Исследовать функцию z = y4 - 2xy2 + x2 + 2y + y2 на экстремум.

Темпы роста y производительности труда по годам в промышленности республики приведены в таблице.

Пример. Вычислить определитель D = , разложив его по элементам второго столбца.

Дифференциальные уравнения

Найти общее решение уравнения y ¢ = 3x.

Пусть национальный доход Y возрастает со скоростью, пропорциональной его величине

Решить уравнение y ¢¢¢ = cos x. Характеристическое уравнение имеет вид k2 - 1 = 0, корни которого k1 = 1, k2 = -1 действительны и различны.

Найти экстремумы функции f(x) = 2x3 - 15x2+ 36x - 14.

Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью V=16p » 50 м3. Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

Использование интегралов в экономических расчетах

Определить объем продукции, произведенной рабочим за третий час рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией f(t) = 3/(3t +1) + 4. Пусть сила роста описывается некоторой непрерывной функцией времени d t = f(t) Выше при анализе непрерывных потоков платежей предполагалось, что годовая сумма ренты R равномерно распределяется на протяжении года.

Основные методы интегрирования

Найти arctg x dx.

Вычислить J = .

Вычислить интеграл .

Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна

Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность xn =(n-1)/n имеет предел, равный 1. Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.

Доказать, что предел   не существует.

Найти предел

Найти предел .

Пример. Под вечной рентой понимается последовательность платежей, число членов которой не ограничено - она выплачивается в течение бесконечного числа лет. Вечная рента не является чистой абстракцией - на практике это некоторые виды облигационных займов, оценка способности пенсионных фондов отвечать по своим обязательствам.

Составьте канонические уравнения прямой: 5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Составьте уравнения прямых, проходящих через точку A(3,1) и наклоненных к прямой 2x+3y-1 = 0 под углом 45 градусов .

Как расположены на плоскости точки, координаты которых удовлетворяют условиям (x-3) 2 + (y-3) 2 < 8, x > y?

Найти предел функции y = при x ® 0.

Найти произведение матриц  и .

Пример. Швейное предприятие производит зимние пальто, демисезонные пальто и плащи. Плановый выпуск за декаду характеризуется вектором X = (10, 15, 23). Используются ткани четырех типов Т1, Т2, Т3, Т4. В таблице приведены нормы расхода ткани (в метрах) на каждое изделие. Вектор С = (40, 35, 24, 16) задает стоимость метра ткани каждого типа, а вектор P = (5, 3, 2, 2) - стоимость перевозки метра ткани каждого вида.

Решить матричным способом систему уравнений

Для матрицы  найти обратную.

Методом элементарных преобразований найти обратную матрицу для матрицы: А= .

Примеры вычисления производных Найти y', y = tg x +. Найти производную функции y=.

Вычислить производную y=ln .

Найти ранг матрицы А=  и привести ее к каноническому виду.

Исследовать систему уравнений и найти общее решение в зависимости от значения параметра а.

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Пример. Из некоторого листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В.

Пример. Три судна доставили в порт 6000 т чугуна, 4000 т железной руды и 3000 т апатитов. Разгрузку можно производить как непосредственно в железнодорожные вагоны для последующей доставки потребителям, так и на портовые склады.

Пример. На предприятии имеется четыре технологических способа изготовления изделий А и Б из некоторого сырья. В таблице указано количество изделий, которое может быть произведено из единицы сырья каждым из технологических способов.

Математическая модель межотраслевого баланса

Пример. Пусть дана леонтьевская балансовая модель “затраты - выпуск” X = AX +Y. Найти вектор конечной продукции Y при заданном X, где ;

 

Математика вычисление производной