Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Точки непрерывности и точки разрыва функции. Непрерывность функции в точке и по направлению. Взаимосвязь между непрерывностью функции по совокупности переменных и по каждому отдельному направлению. Арифметические операции над непрерывными функциями. Понятие о сложной функции

Функции трех переменных

Наряду с существованием функций двух переменных, существует функции трех переменных u(x, y, z). Пределы и непрерывность для нее определяется аналогично функции двух переменных.

Аналогично можно подсчитать и частные производные для функции трех переменных

Обратим внимание на отличие в написании производных . Возьмем теперь вектор, проекциями которого на оси координат будут служить значения частных производных в выбранной точке Р(x, y, z).

Назовем этот вектор градиентом функции u(x, y, z) и будем обозначать его символами gradu и .

Градиентом функции u(x, y, z) называется вектор, проекциями которого служат значения частных производных этой функции, т.е. Убедиться в потенциальности поля вектора

Проекции градиента зависят от выбора точки Р(x, y,z) и изменяются с изменением координат этой точки. Направление градиента есть направление наискорейшего возрастания функции.

Поверхностью уровня для функции трех переменных u(x, y, z) называется поверхность, заданная уравнением u(x, y, z)=u0, где u0=u(x0, y0, z0).

Справедлива Теорема:

Градиент функции u(x, y, z) в каждой точке совпадает с нормалью к поверхности уровня, проходящей через эту точку.

Например: Пусть - расстояние от точки до начала координат. Тогда

То есть градиент r направлен по радиус-вектору и модуль его равен единице.

В случае функции двух переменных u=u(x, y) градиент лежит в плоскости Оxy и перпендикулярен к линии уровня (u(x, y)=с).

Предел функции нескольких переменных. Арифметические операции над функциями, имеющими конечные предельные значения. Предел функции по направлению. Повторные предельные значения. Теорема о существовании повторного предела.
Матрицы и определители