Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Зависимость и независимость функций. Общая теорема о зависимости и независимости совокупности функций. Матрица Якоби и якобиан. Экономические иллюстрации теоремы о неявной функции.

Функции нескольких переменных

Функции двух переменных, их график, непрерывность

Рассмотрим два множества. Пусть множество D есть подмножество множества R2={(х,y)} на плоскости, т.е. DМ R2, а множество Z есть подмножество множества R на прямой, т.е.ZМ R.

Соотношение между множеством D и множеством Z, при котором каждому элементу (х,y) множества D соответствует один и только один элемент z множества Z, называется функцией двух переменных.

Множество D называется областью определения функции и обозначается D(z).

Для функции двух переменных вводится обозначение

z=f(х;y), (х;y) О D(z).

Приведем примеры функций двух переменных, заданных аналитически.

Пример 1. z = -2x+3y+6, D(z)=R2.

Здесь каждой паре действительных чисел (x0, y0) соответствует одно и только одно действительное число

z0 = -2x0,+ 3y0+6.

Например, z(0;0) = 2· 0 - 3· 0 + 6 =6; z(-1; 2) = -2(-1) + 3· 2 +6 = 14;

z(4,1) = -2· 4 + 3· 1 + 6 = 1 и т.д.

Пример 2. z = x2 + y2, D(z) = R2.

Очевидно, z(0; 0) = 0; z(-2; 3) = 13, z(1; 4) = 17 и т.д.

Множество значений z, каждый элемент которого соответствует определенной точке (х; y)О D(z), называется областью значений этой функции. Область значений функции z=f(х;y) принято обозначать Е(z). Так, в примере 1 Е(z)=R, а в примере 2 E(z)=[0;+Ґ ].

Функция считается заданной, если указаны множества D(z)М R2, E(z)М R и соответствие f. Причем соответствие f может быть задано, как и в случае функций одной переменной, различными способами (аналитически, таблично, графически, описанием и т.д.).

Функции двух переменных. Понятие о множестве (линии) уровня функции двух переменных. Карта множеств уровня функции двух переменных, взаимное расположение линии уровня функции двух переменных. Обобщение на случай функций нескольких переменных
Проектирование ветроэнергетических установок Матрицы и определители