Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Теоремы о существовании и гладкости неявных функций и их геометрическая интерпретация. Формулы для частных производных и дифференциалов неявных функций. Теорема о существовании и гладкости обратной функции как частный случай теоремы о неявной функции

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Жордана – Гаусса

1 шаг: а) первую строку не меняем б) из второй вычитаем первую, умноженную на 2 в) третью не меняем, т.к. там неизвестное х1 и так отсутствует.

2 шаг: а) вторую строку делим на - 4 б) из третьей строки вычитаем новую вторую (поделенную на -4).

3 шаг: делим третью строку на (-7/4).

Последней матрице соответствует система.

или х3 = -2 + 10/7х4 + 3/7х5

х2 = -7/4х3 + 1/2х4 + 7/4х5 + 5/2 = -7/4(-2 + 10/7х4 + 3/7х5) + 1/2х4 + 7/4х5 + 5/2 = 7/2 – 5/2х4 – 3/4х5 + 1/2х4 +7/4х5 + 5/2 = 6 – 2х4 + х5

х1 = 7 – 2х2 – 4х3 + х4 + 3х5 = 7-2(6 – 2х4 + х5) – 4(-2 + 10/7х4 + 3/7х5) + х4 +3х5 = 7 – 12 + 4х4 – 2х5 + 8 – 40/7х4 – 12/7х5 + х4 + 3х5 = 3 – 5/7х4 – 5/7х5

Придавая х4 и х5 произвольные значения, например, х45 = 0, получаем решение системы, х1 =3, х2 =6, х3 =-2, х4 =0, х5 =0.

В случае треугольной системы из последнего уравнения находим хn = bn, затем хn-1 и так далее, то есть система является совместной и определенной. Если же мы получим ступенчатую систему, то часть неизвестных будут свободными и мы будем придавать им произвольные значения. Такая система является совместной и неопределенной. Итак, ответ на вопрос о совместности системы может быть дан лишь в конце вычислений, либо этот ответ может дать теорема Кронекера - Капелли. Для того, чтобы система линейных уравнений были совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы равнялся рангу ее расширенной матрицы, то есть

Замечание. Если ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы равны числунеизвестных,r(А)=r(В)=n, то исходная система имеет единственное решение. Если же r(A)=r(B)<n , то система имеет бесчисленное множество решений.

. Частные производные и дифференциалы порядка выше первого. Теорема о равенстве смешанных частных производных. Формула Тейлора для функций нескольких переменных. Матрица Гессе и гессиан.
Решение контрольной работы по математике http://ruos.ru/ Матрицы и определители