Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Экстремум ФНП (абсолютный, условный, локальный, глобальный). Необходимое условие локального абсолютного экстремума. Знакоопределенность квадратичной формы. Достаточное условие локального абсолютного экстремума

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Матрицы и определители

Пусть дана таблица из 4 чисел

Это матрица . Она имеет две строки и два столбца, т.е. размер матрицы (2х2).

Числа, составляющие эту матрицу, обозначены буквой с двумя индексами. Первый индекс указывает номер строки, а второй — номер столбца, в которой стоит данное число. Например, а 12 означает число, стоящее в первой строке и втором столбце; а 21 – число, стоящее во второй строке и первом столбце. Числа а 11, а12, а21, а22 будем называть элементами матрицы.

Определителем второго порядка (соответствующим данной матрице) называется число (1)

Свойства определителей второго порядка:

1. Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами.

2. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину

3. Определитель с двумя одинаковыми строками и столбцами равен нулю.

4. Общий множитель всех элементов строки или столбца можно выносить за знак определителя; если все элементы какой-то строки или столбца равны 0, то и определитель равен 0.

5. Если к элементам какой либо строки (или столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и тоже число, то определитель не изменит своей величины.

Последнее свойство применяется для получения в какой-либо строке (столбце) определителя строки (столбца), в которой все элементы, кроме одного, равны нулю. Так как разложить определитель можно по любой строке или столбцу, то при разложении по полученной в результате линейной комбинации строке, определитель равен произведению ненулевого элемента этой строки на его алгебраическое дополнение (взятое с соответствующим знаком).

Все эти свойства легко доказываются проверкой, например:

. Выпуклые и строго выпуклые функции. Экстремум выпуклой функции. Функция Лагранжа и множители Лагранжа для задачи на условный экстремум. Необходимое условие локального условного экстремума и его геометрическая интерпретация. Достаточное условие локального условного экстремума.
Радикальный дизайн. Антидизайн Дизайн интерьера Матрицы и определители