Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Матрицы и определители Пусть дана таблица из 4 чисел Это матрица . Она имеет две строки и два столбца, т.е. размер матрицы (2х2).

Пример: Вычислим определитель матрицы Все свойства определителей второго порядка остаются справедливыми для определителей третьего порядка и доказываются так же: непосредственной проверкой. Решение: Разложим определитель по первой строке Пример : Найти у из системы уравнений

Действия над матрицами и линейные преобразования С матрицами можно производить операции сложения и вычитания, если их размеры совпадают. Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей этих матриц.

Пример : Доказать, что произведение матрицы А на единичную матрицу Е, равно самой матрице А.

Нахождение обратной матрицы Для квадратных матриц любого порядка А можно найти так называемую обратную матрицу А-1, удовлетворяющую условию А·А-1 = А-1·А = Е

Матричная запись и матричное решение системы уравнений первой степени

Например, решим матричным способом систему

Как вы понимаете, если мы возьмем систему трех уравнений с тремя неизвестными или n уравнений с n неизвестными, то формулы останутся те же:

Аналитическая геометрия

Прямая на плоскости Напомним сведения об уравнении прямой на плоскости. Любое уравнение первой степени относительно неизвестных х и у является уравнением прямой на плоскости: АX + ВY + С = 0

Общее уравнение прямой на плоскости Рассмотрим на плоскости Оху произвольную прямую L. Пусть дана некоторая ее точка М11у1) и вектор N=Ai+Bj, перпендикулярный рассматриваемой прямой. Этот вектор называется нормальным вектором прямой. Точка М1 и нормальный вектор N вполне определяют положение прямой L на плоскости Оху. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки А11у1z1), А22у2z2), А33у3z3)

Рассмотрим пример: Даны вершины пирамиды А1(1,2,3) А2(3,5,4) А3(1,5,2) А4(3,4,8)

Найти: 1) Длину ребра А1А2. Длина ребра есть длина вектора A1A2 =(3-1, 5-2, 4-3) = (2,3,1)

Кривые второго порядка - это линии на плоскости, координаты точек которых связаны уравнениями второй степени относительно х и у в декартовой системе координат. Рассмотрим следующие виды кривых второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Эллипс - геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух фиксированных точек (фокусов эллипса) есть величина постоянная.

Гипербола - геометрическое место точек. разность расстояний которых до двух фиксированных точек (фокусов гиперболы) есть величина постоянная. Эта фигура также обладает двумя осями симметрии и центром. Если фокусы F1 и F2 расположены на прямой, параллельной Ох , то ее каноническое уравнение имеет вид. Пример. На правой ветви гиперболы х 2/16 - y2/9 = 1 найти точку, расстояние которой от правого фокуса в два раза меньше её расстояния от левого фокуса.

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса Мы уже рассматривали методы решения систем линейных алгебраических уравнений, но только в тех случаях, когда матрица системы – квадратная, то есть число уравнений равно числу неизвестных. Рассмотрим теперь самый простой и употребительный способ решения систем линейных уравнений – метод Гаусса. Рассмотрим его на простейшем примере, решая систему трех уравнений с тремя неизвестными

Коэффициенты при неизвестных и свободные члены в последних m-1 уравнениях системы, определяются формулами: Второй этап – обратный ход, заключается в решении треугольной системы. Из последнего уравнения находим xm. По найденному xm из (m-1) уравнения находим xm-1. Затем по xm-1 и xm из (m-2) уравнения находим xm-2. Процесс продолжаем, пока не найдем x1 из первого уравнения.

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Жордана – Гаусса Пределы, пределы слева, пределы справа

Бесконечно малые функции и бесконечно большие функции

 

Основные элементарные функции. Пределы элементарных функций. Свойства пределов

Предел произведения равен произведению пределов. Предел частного равен частному пределов. Нарушение ограничений, накладываемых на функции при вычислении их пределов, приводит к неопределенностям.

 

Рассмотрим конкретные примеры пределов: Найдем Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности типа . Так как под знаком предела стоит отношение двух многочленов, то разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. на х4. Имеем неопределенность вида {0/0} в тригонометрическом выражении. Раскроем ее с помощью первого замечательного предела, но в первом замечательном пределе знаменатель дроби и аргумент синуса должны совпадать.

Непрерывность функции, разрывы Пусть функция f(x) определена на некотором множестве Е и х0 – предельная точка множества Е.

Свойство нерерывности сложной функции Если функция u=g(x) непрерывна в точке х0 и функция y=f(u) непрерывна в точке u0=g(x0), то сложная функция y=f(g(x)) непрерывна в точке х0. Основные элементарные функции непрерывны во всех точках своей области определения.

Исследование функции, построение графика

Далее займемся исследованием функций, применяя полученные знания. Если в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f(x)<f(х0) или f(x) > f(х0), то точка х0 называется точкой экстремума функции f(x) (соответственно точкой максимума или минимума). Необходимое условие экстремума: если х0 – экстремальная точка функции f(x), то первая производная f’(х0) либо равна нулю или бесконечности, либо не существует. Достаточное условие экстремума: х0 является экстремальной точкой функции f(x), если ее первая производная f’(x) меняет знак при переходе через точку х0: с плюса на минус – при максимуме, с минуса на плюс – при минимуме. Исследование графика функции по второй производной

Пример . Построить график функции , используя общую схему исследования функции.

 

Функции нескольких переменных Функции двух переменных, их график, непрерывность Рассмотрим два множества. Пусть множество D есть подмножество множества R2={(х,y)} на плоскости, т.е. DМ R2, а множество Z есть подмножество множества R на прямой, т.е.ZМ R. Геометрическим изображением функции двух переменных z=f(x; y) будет служить некоторая поверхность, которая может быть названа графиком этой функции

Пример. Вычислить

Частные производные Мы видели, что понятие производной функции оказалось очень полезным для исследования функций одной переменной. Но как применить это понятие для функции двух переменных. Можно считать одну переменную постоянной и взять производную по другой – так мы получим частные производные.

Пример. Найти f’x(3;-2), если Решение. Найдем сначала частную производную функцию по х. При дифференцировании по переменной х данная функция z является показательной (здесь основание степени y постоянно).

Пример. Найдем частные производные второго порядка от функции

Функции трех переменных

Наряду с существованием функций двух переменных, существует функции трех переменных u(x, y, z). Пределы и непрерывность для нее определяется аналогично функции двух переменных.

Исследование операций Область математической науки, изучающая вопросы выбора (принятия) решений по организации и управлению целенаправленными процессами (операциями) называется исследованием операций. Характерной существенной особенностью исследования операций является стремление найти наиболее эффективное (оптимальное) решение задачи принятия решений. Общая задача математического программирования может быть сформулирована следующим образом. Типичными задачами, решаемыми в исследовании операций Переход от неравенств к уравнениям в задачах математического программирования Все неравенства, описанные выше определяют некоторое множество значений величин х1, х2, хn, которые удовлетворяют этим неравенствам. Покажем как от системы неравенств перейти к равенстам вводя дополнительные переменные.

 

Правило Лопиталя Будем говорить, что отношение функций f(x)/g(x) представляет собой неопределенность вида 0/0 при x® a, если limx® af(x) = limx® ag(x) = 0. Замечание. Если производные f'(x),g'(x) удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции, то правило Лопиталя можно применить повторно, т.е. предел отношения первых производных можно заменить пределом отношения вторых производных и т.д. Теорема (теорема Тейлора). Пусть функция f(x) имеет в точке x = a и некоторой ее окрестности производные порядка n+1.

Выпуклость функции. Точки перегиба Определение . Множество точек на плоскости называется выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две точки этого множества, целиком содержится в этом множестве. Геометрический смысл теоремы состоит в том, что если f'(x) возрастает (убывает) на множестве X, то возрастает (убывает) угол наклона касательных к графику. Это и означает выпуклость функции вниз (вверх).

Асимптоты графика функции Определение (вертикальная асимптота). Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если хотя бы один из пределов limx® a+0f(x) или limx® a-0f(x) равен +Ґ или -Ґ. Общая схема исследования функций и построение их графиков

Экономический смысл производной Ранее было установлено, что производительность труда есть производная объема продукции по времени. Рассмотрим еще некоторые понятия, иллюстрирующие экономический смысл производной. Пример. Как связаны предельные и средние полные затраты предприятия, если эластичность полных затрат равна 1? Максимизация прибыли

Интегральное исчисление функции одной переменной

Неопределенный интеграл Определение (первообразная). Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на множестве XН R, если в каждой точке этого множества F'(x) = f(x).

Таблица интегралов Ранее была указана таблица производных от основных элементарных функций Приведем таблицу основных интегралов. Справедливость ниже указанных формул легко проверить дифференцированием.

Теплопроводность тел Лабораторные работы http://mirkasflur.ru/ Математика вычисление производной