Математика вычисление производной Дифференциалы Пределы

Сборник задач по физике
Электрический ток
Волновая оптика
Электромагнетизм
Варианты контрольной работы
Закон Ома для однородного участка
цепи
Правила Кирхгофа
Электромагнитная индукция
Электромагнитные волны
Цепь переменного тока
Кинематика материальной точки
Методика решения задач по кинематике
Магнитное поле в веществе
Классификация магнетиков
Основы электронной теории магнетизма
Парамагнетизм. Закон Кюри
Основы электродинамики
Уравнения Максвелла
Свободные затухающие колебания
Вынужденные электрические колебания
Резонансные явления в
колебательном контуре
Оптика Ньютона
Квантовые свойства света
Интерференция световых волн
Дифракция света
Поляризация света
Тепловое излучение
Измерение силы тока и напряжения
в цепях постоянного тока
Математика
Теория функций
комплексной переменной
Неопределённый, несобственный
и двойной интеграл
Матричный метод решения
систем линейных уравнений
Вычисление объёма тела
Векторная алгебра
Матрицы и определители
Операции над множествами
Действительные числа
Последовательность
Предел функции
Решение задач на вычисление
пределов
Задачи, приводящие
к понятию производной
Производные и дифференциалы
высших порядков
Нахождение пределов с помощью
формулы Тейлора
Комплексные числа.

Определенный интеграл

Действия над матрицами
Обратная матрица
Матричная запись
Прямая на плоскости
Уравнение прямой
Кривые второго порядка
Метод Гаусса
Метод Жордана – Гаусса
примеры пределов
исследование функции
Функции нескольких переменных
производные второго порядка
функции трех переменных
Понятие множества
Операции над множествами
Свойства операций над
множествами
Функции и отображения
Виды отображений
Мощность множеств.
Аксиоматика действительных
чисел
Числовые множества.
Принцип верхней грани.
Предел последовательности
Неограниченная
последовательность
Бесконечно малые
последовательности
Свойства предела
последовательности.
Арифметические операции
Фундаментальные
последовательности
Монотонные
последовательности
Подпоследовательность

Приложение
последовательностей
в экономике

Пример
Предел функции.
Критерий Коши
Непрерывные функции
Дифференциальное исчисление
Производная, интегралы
примеры решений
Исследовать функцию
Вычислить определитель
Методы интегрирования
Произведение матриц
Исследовать систему уравнений
Решить матричным способом
Найти обратную матрицу
Найти предел
последовательности
Рассмотрим задачу о
непрерывном
начислении процентов.
Исследовать на сходимость ряд
Теория поля
Формула интегрирования по
частям
Изменить порядок
интегрирования
Неопределенный интеграл в
экономике
Геометрические приложения
определенного интеграла
Контрольная работа
Вычислить длины дуг кривых
Тройной интеграл
Найти объем тела V
Вычислить работу векторного
поля
Вычисление несобственных
интегралов
экстремум функций двух
переменных
Вычислить производную функции
Метод интегрирования
подстановкой
Рационализация интегралов
Математическая модель
Проблемы при работе
с Adobe Illustrator
Советы при работе
с Adobe Illustrator
Печать в Illustrator
Сборочный чертеж
Параметры  резьбы
Соединение болтом
Монументальная живопись
Соединение шпилькой
Понятие о инженерном проектировании
Машиностроительное черчение
Простановка на эскизах
шероховатости поверхностей
Изобpажения и обозначения
сваpных швов
Выполнение графических работ
Сварные соединения
Общие  сведения о резьбе
Выполнить эскизы с натуры
чертеж сборочной единицы
Эскизирование деталей
Построить три вида детали
Графические работы
Основы электротехники
Задание к курсовой работе
Физические законы в электротехнике
Выбор типа выпрямителя и
трансформатора
Метод узловых и контурных уравнений
Расчёт трёхфазной цепи
Метод законов Кирхгофа
Электрические цепи переменного
синусоидального тока
Переменные ток в однородных
идеальных элементах
двухполюсник
Резонанс в сложных схемах
Топологические методы расчета
Электрические цепи трехфазного тока
Основные законы электрических цепей
Индуктивность
резонанс токов
Магнитные цепи
Определение магнитодвижущей силы
Трёхфазный трансформатор
Асинхронная машина
Выпрямители переменного тока
Однофазная схема выпрямления

Производная Основные понятия Пусть дана функция y = f(x). Рассмотрим два значения ее аргумента: исходное х0 и новое х. Разности Dх = х-х0 и D y = f(x)-f(x0) = y-y0 называются соответственно приращением аргумента и приращением функции в точке х0. Теорема ( о связи дифференцируемости и непрерывности). Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х0, то она непрерывна в этой точке.

Вычисление производной Формулы вычисления производной некоторых элементарных функций получены в курсе средней школы

Производная обратной функции Теорема. Пусть функция х = f(y) монотонна и дифференцируема в некотором интервале (a, b) и имеет в точке у этого интервала производную f'(y), не равную нулю. Примеры. Найти производную функции.

Комплексные числа

Производная степенной функции с любым действительным показателем

Производные высших порядков Предположим, что функция y = f(x) дифференцируема в некотором интер­вале (а, в). Тогда ее производная f'(x) в этом интервале является функцией х. Пусть эта функция также имеет производную в (а, в). Эта производная называется второй производной или производной второго порядка функции y = f(x)и обозначается y'' или f''(x).

Дифференцирование функций, заданных параметрически

Вычисление площади плоской фигуры

Дифференцирование функций, заданных неявно Если функция y = f(x), определенная на некотором интервале (а,в), такая, что уравнение (1) при подстановке в него вместо у выражения f(x) обращается в тождество, то говорят, что уравнение (1) задает функцию y = f(x) неявно или что функция y = f(x) есть неявная функция. Пример

Логарифмическое дифференцирование Функция вида y = [u(x)]v(x) называется степенно – показательной. Для вычисления ее производной (при условии, что у' существует), нужно прологарифмировать функцию по любому основанию (обычно по основанию е). Затем нужно вычислить производную полученной неявной функции.

Дифференциал функции Рассмотрим функцию у = х3. Дадим некоторому значению аргумента х ¹ 0 приращение Dх ¹ 0, тогда функция получит соответствующее приращение Dу. Вычислим его.

Теорема о связи между существованием производной и существованием дифференциала. Для того, чтобы функция y = f(x) имела в точке х дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную.

Линейные однородные дифференциальные уравнения Примеры решения задач

Свойства дифференциала Это свойство дифференциала сложной функции называется инвариантностью формы дифференциала.

Дифференциалы высших порядков Дифференциал от дифференциала данной функции y = f(x) называется ее вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка и обозначается символом d2у или d2 f(x). Таким образом, по определению d2у = d(dу).

Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях

Теорема Ферма Пусть функция y = f(x) определена в интервале (а, в) и принимает в точке с этого интервала наибольшее или наименьшее на (а, в) значение. Если существует f'(с), то f'(с) = 0.

Теорема Лагранжа Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в интервале (a, b). Тогда существует хотя бы одна точка сÎ(a, b), для которой выполняется условие: .

Теорема Коши

Теорема Лопиталя (Правило Лопиталя) Пусть - функции, непрерывные на [а, b], дифференцируемые в(а, b);  при всех хb) и f(а) = (а) = 0. Примеры на применение правила Лопиталя.

Применение производной к исследованию функций

Интервалы монотонности. Теорема ( достаточное условие монотонности функции). Если непрерывная на отрезке [а, b] функция у = f(х) в каждой точке интервала (а, b) имеет положи­тельную (отрицательную) производную, то эта функция возрастает (убывает) на отрезке [а, b].

Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями

Выпуклость и вогнутость графика функции

Точки перегиба График дифференцируемой функции у = f(x) называется выпуклым (вогнутым) в интервале (а,b), если он расположен ниже (выше) любой своей касательной на этом интервале. Теорема ( достаточный признак существования точки перегиба). Если вторая производная непрерывной функции меняет знак при переходе аргумента через точку х0, то точка (х0; f(х0)) является точкой перегиба графика функции. Асимптотой графика функции у = f(x) называется прямая, расстояние от которой до текущей точки графика функции стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат.

План исследования функции и построение графика

Пример . Исследовать функцию y= x-2arctgx и построить ее график.

Элементы линейной алгебры

Определители второго порядка Определение. Выражение называется определителем 2-го порядка.

Пример. Вычислить определитель: по правилу треугольника.

Пример. Вычислить определитель , разлагая его по элементам второй строки.

Определитель в правой части формулы называют транспонированным по отношению к определителю в левой части этой формулы. Если две строки (столбца) определителя равны, то определитель равен нулю. Если элементы какого-либо ряда определителя пропорциональны элементам параллельного ряда, то определитель равен нулю.

Пример. Вычислить определитель , используя свойства определителей.

Определители 4-го порядка. Методы их вычисления

Метод понижения порядка определителя основан на обращении всех, кроме одного, элементов определителя в нуль с помощью свойств определителей. Метод приведения к треугольному видузаключается в таком преобразовании данного определителя, когда все элементы его, лежащие по одну сторону одной из его диагоналей, становятся равными нулю. Суммой матриц размера называется матрица того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответственных элементов матриц A и B:

Пример. Вычислить произведение матриц и .

Решение. Согласно определению произведение матриц получаем так: умножаем элементы первой строки матрицы A на соответствующие элементы первого столбца матрицы B, произведения складываем и ставим в первую строку и первый столбец матрицы-произведения. Умножаем далее элементы первой строки матрицы A на элементы второго столбца матрицы B, произведения складываем и ставим в первую строку и второй столбец матрицы-произведения и т.д. Матрицу, все элементы которой равны нулю, мы будем называть нулевой .

Пример . Пусть . Найти значение многочлена

Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если её определитель отличен от нуля, и вырожденной (особенной), если определитель её равен нулю.

Рассмотрим матрицу,составленную из алгебраических дополнений к элементам матрицы А и называемую присоединенной к матрице А. Отметим, что алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы находят так же, как к элементам ее определителя. В присоединенной матрице алгебраические дополнения элементов строки стоят в столбце с таким же номером.

Пример. Найти матрицу, обратную для матрицы

Ранг матрицы Пример. Найти ранг матрицы

Пример. Вычислить ранг матрицы

Пример. Решить систему уравнений по правилу Крамера:

Пример. Матричным методом решить систему уравнений

Теорема Кронекера-Капелли Для того чтобы система m неоднородных линейных уравнений с n неизвестными была совместной, необходимо и достаточно, чтобы

Метод Гаусса Пусть требуется решить систему АХ=В. Над строками расширенной матрицы произведем элементарные преобразования, приводящие ее к виду, когда ниже элементов а11, а22, …, аrr будут стоять нули. Этот вид матрицы будем называть трапециевидным.

Пример. Исследовать совместность и найти общее решение системы

Пределы и непрерывность функции

Предел функции Совокупность значений некоторых величин, как правило, лишенных физического содержания, представляет собой некоторые числовые множества. Будем обозначать множества большими буквами латинского алфавита: А,В,..,Х,У. Окрестностью О (а) точки а называется любой интервал a < x < b, окружающий эту точку, из которого, как правило, удалена сама точка а.

Пример. Доказать, что (2х +1) = 7.

Пример . Функция у = sin х ограничена на всей числовой оси, так как . Функция не ограничена на множестве, содержащем точку х = 0.

Односторонние пределы Любой интервал (a, а), правым концом которого является точка а, называется левой окрестностью точки а. Аналогично любой интервал (a, b), левым концом которого является точка а, называется ее правой окрестностью.

Пример. Функция f(x) = x2 является бесконечно малой при x®0, а g (x) = бесконечно большой (при x ¹ 0).

Пример . Найти Пример. Найти пределы: , ,

Некоторые признаки существования предела функции Не всякая функция имеет предел, даже будучи ограниченной. Например, sin x при x ® ¥ предела не имеет, хотя £ 1. Укажем два признака существования предела функции.

Первый и второй замечательные пределы

Непрерывность функции Функция f(x), определенная на множестве Х, называется непрерывной в точке , если

Пример. Функция является непрерывной справа в точке х = 0, слева же от этой точки она вообще не определена.

Точка разрыва функции, не являющаяся точкой разрыва первого рода или точкой устранимого разрыва, является точкой разрыва второго рода.

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторы. Основные понятия Вектором называется направленный отрезок. Обозначается вектор , , , , AB, a (А – начало вектора, В – его конец). Линейные операции над векторами Линейными операциями называют операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число. Вычитание векторов. Разностью векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор : Û .

Умножение вектора на число. Произведением вектора на действительное число называется вектор (обозначают ), определяемый следующими условиями: 1) , 2) при и при .

Проекция вектора на ось Углом между двумя ненулевыми векторами и называется наименьший угол ( ), на который надо повернуть один из векторов до его совпадения со вторым. Предварительно нужно привести векторы к общему началу О

Пример . При каком условии ?

Координаты вектора Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат Oxyz. Обозначим , , – единичные векторы, направленные соответственно вдоль осей Ox, Oy, Oz (орты осей). Эти векторы называются декартовым прямоугольным базисом в пространстве.

Направляющие косинусы вектора Направление вектора в пространстве определяется углами , которые вектор образует с осями координат. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора: , , .

Деление отрезка в данном отношении

Пример. Даны вершины треугольника , , . Найти точку пересечения медиан этого треугольника и орт вектора

Пример. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и .

Смешанное произведение векторов Смешанным, или векторно-скалярным произведением трех векторов (обозначается ) называется произведение вида .

Кривые второго порядка Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих декартовых координат х, у Уравнение содержит только четные степени х, у, следовательно, кривая симметрична относительно осей координат.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Полагая в каноническом уравнении у = 0, найдем точки пересечения гиперболы с осью ОХ: х = ±а. При х = 0 уравнение не имеет решений, то есть с осью ОУ гипербола не пересекается. Точки А1(-а; 0) и А2(а; 0) называются вершинами гиперболы. Фокальная ось (ось, на которой лежат фокусы) называется действительной осью гиперболы, а перпендикулярная ей ось – мнимой осью.

Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Уравнение содержит у лишь в четной степени, следовательно, кривая симметрична относительно оси ОХ. При х = 0 у = 0, то есть парабола проходит через начало координат.

Полярная система координат на плоскости определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, луча Ор, исходящего из этой точки и называемого полярной осью, и единицы масштаба

Пример. Построить в полярной системе координат точки

Пример. Дано полярное уравнение линии Построить эту линию по точкам. Найти ее декартово уравнение, расположив систему Охy

Пример. Найти полярное уравнение окружности

Неполные уравнения плоскостей Если в уравнении плоскости какие-либо из коэффициентов равны нулю, то получится неполное уравнение плоскости.

Прямая в пространстве Прямую в пространстве можно задать уравнениями, аналогичными уравнениям прямой на плоскости

Поверхности второго порядка

Цилиндрической поверхностью называется поверхность, составленная из всех прямых, пересекающих данную линию L и параллельных данной прямой . Линия L при этом называется направляющей цилиндрической поверхности, а каждая из прямых, составляющих поверхность и параллельных прямой ,– ее образующей

Уравнение определяет гиперболический цилиндр. Его направляющая – гипербола, лежащая в плоскости Оуz, образующие параллельны оси Ох

Конической поверхностью называется поверхность, составленная из всех прямых, пересекающих данную линию L и проходящих через данную точку Р. Линия L при этом называется направляющей конической поверхности, точка Р – ее вершиной, а каждая из прямых, составляющих коническую поверхность,– ее образующей

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется уравнением Это замкнутая овальная поверхность, симметричная каждой из координатных плоскостей

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется уравнением

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Понятие производной Рассмотрим задачу, которая приводит к понятию производной. Пусть функция u(t) выражает количество произведенной продукции за время t. Найдем производительность труда в момент t0. За период от t0 до t0+D t количество продукции изменится от u(t0) до u0+D u = u(t0+D t).

Геометрический смысл производной Рассмотрим график функции y = f(x), определенной и непрерывной на (a,b). Зафиксируем произвольную точку x на (a,b), и зададим приращение D x 0, причем x+D x О (a,b).

Пример. Составить уравнение касательной к кривой y = 2x2-x+5 при x = -0,5.

Пример. Доказать, что функция |x| не дифференцируема в точке x = 0.

Правила дифференцирования Приведем основные правила для нахождения производной

Дифференцирование сложной и обратной функций Приведем правило по которому можно найти производную сложной функции y = f(f(t)). Теорема (производная обратной функции). Пусть функция
y = f(x) возрастает (или убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки x. Пусть, кроме того, эта функция дифференцируема в точке x и f'(x) 0. Тогда в некоторой окрестности соответствующей точки y = f(x) определена обратная функция x = f-1(y), причем обратная функция дифференцируема в точке x = f-1(y) и для ее производной справедлива формула (f-1(y))' = 1/f'(x).

Таблица производных простейших элементарных функций

Производная степенно-показательной функции

Понятие дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала.Производные и дифференциалы высших порядков Предположим, что функция f'(x) является дифференцируемой в некоторой точке x интервала (a,b), то есть имеет в этой точке производную. Тогда данную производную называют второй произвоьдной и обозначают f(2)(x), f''(x) или y(2), y''(x). Аналогично можно ввести понятие второй , третьей и т. д. производных. Определение. Значение d(dn-1y) дифференциала от(n-1)-го дифференциала при d x = dx, называется n-м дифференциалом функции y = f(x) и обозначается dny.

Производная параметрически и неявно заданных функций Пусть x = f (t),y = y (t), tО [a,b] - достаточно гладкие функции. Тогда говорят, что функция задана параметрически. Примером параметрически заданной функции является уравнение окружности: x = acos t,y = asin t, tО [0,2p]. Рассмотрим вопрос о нахождении производных y = y(x) по переменной x.

Основные теоремы дифференциального исчисления Рассмотрим ряд важных теорем, которые полезны при исследовании функции. Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.

Расчет электрической цепи постоянного и переменного тока

  • Линейные электрические цепи Физические законы в электротехнике Электромагнитное поле представляет собой особый вид материи. Как вид материи оно обладает массой, энергией, количеством движения, может превращаться в вещество и наоборот.
  • Метод контурных токов Теоретическая база метода контурных токов – 2-ой закон Кирхгофа в сочетании с принципом наложения. Предполагают, что в каждом элементарном контуре-ячейке схемы протекает «свой» контурный ток Ik, а действительные токи ветвей получаются по принципу наложения контурных токов как их алгебраические суммы. В качестве неизвестных величин, подлежащих определению, в данном методе выступают контурные токи. Общее число неизвестных составляет m-(n-1).
  • Электрические цепи переменного синусоидального тока Переменный ток (напряжение) и характеризующие его величины Переменным называется ток i(t) [напряжение u(t)], периодически изменяющийся во времени по произвольному закону. В электроэнергетике понятие ’’переменный’’ употребляют в более узком смысле, а именно: под переменным понимают ток (напряжение), изменяющийся во времени по синусоидальному закону: i(t)=Im sin(wt+yi), u(t)=Umsin(wt+yu)
  • Переменные ток в однородных идеальных элементах Существует три типа идеальных схемных элементов: резистор R, катушка L и конденсатор C. Рассмотрим процессы в цепи с каждым из названных элементов в отдельности
  • Резонанс в электрических цепях В электрической цепи, содержащей катушки индуктивности L и конденсаторы C, возможны свободные гармонические колебания энергии между магнитным полем катушки  и электрическим полем конденсатора .
  • Топологические методы расчета электрических цепей Топологические определения схемы С появлением ЭВМ и их широким применением для решения сложных математических задач были разработаны специальные топологические расчёта сложных электрических цепей, графов и матриц.
  • Расчет сложных трехфазных цепей Сложная трехфазная цепь, например, объединенная энергосистема, может содержать большое число трехфазных генераторов, линий электропередачи, приемников трехфазной энергии. Схема такой цепи представляет собой типичный пример сложной цепи переменного тока. Установившейся режим в такой схеме может быть описан системой алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами, составленных по одному из методов расчета сложных цепей (метод законов Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов).
  • Электрические цепи периодического несинусоидального тока Как известно, в электроэнергетике в качестве стандартной формы для токов и напряжений принята синусоидальная форма. Однако в реальных условиях формы кривых токов и напряжений могут в той или иной мере отличаться от синусоидальных. Искажения форм кривых этих функций у приемников приводят к дополнительным потерям энергии и снижению их коэффициента полезного действия. Синусоидальность формы кривой напряжения генератора является одним из показателей качества электрической энергии как товара.
  • Измерение действующих значений несинусоидальных токов и напряжений Для измерения действующих значений токов и напряжений в цепях переменного синусоидального тока применяются различные приборы, отличающиеся по принципу их действия или системой. Независимо от устройства шкалы всех приборов для измерения действующих значений токов и напряжений проградуированы в действующих значениях измеряемых величин.
  • Классический метод расчета переходных процессов Переходные процессы в любой электрической цепи можно описать системой дифференциальных уравнений, составленных для схемы цепи по законам Кирхгофа. В математике известно несколько методов решения систем дифференциальных уравнений: классический, операционный, численный и др. Название метода расчета переходных процессов адекватно названию математического метода решения системы дифференциальных уравнений, которыми описывается переходные процессы. Алгоритм расчета переходных процессов операторным методом Расчет переходных процессов методом переменных состояния Уравнениями состояния электрической цепи называют любую систему дифференциальных уравнений, которая описывает состояние (режим) данной цепи. Например, система уравнений Кирхгофа является уравнениями состояния цепи, для которой она составлена. Основные понятия и определения электрических фильтров Электрическим фильтром называется четырехполюсник, предназначенный для выделения (пропускания) сигналов определенной полосы частот.
  • Линия с распределенными параметрами в различных режимах Расчет токов и напряжений в линии с распределенными параметрами при произвольной нагрузке  на основе совместного решения полученных ранее комплексных уравнений. Уравнения режима линии дополняются уравнениями закона Ома для начала и конца линии
  • Синтез электрических цепей Характеристика задач синтеза Синтезом электрической цепи называют определение структуры цепи и параметров составляющих ее элементов R, L и С по известным свойствам (характеристикам), которым должна удовлетворять цепь. Задачи синтеза цепей противоположны по цели и содержанию задачам анализа. В отличие от задач анализа, имеющих, как правило, единственное решение, задачи синтеза могут иметь несколько решений, удовлетворяющих заданным условиям. В этом случае выбирают наиболее рациональное решение (например, по стоимости, по габаритам, по массе, по числу элементов и т. д.) 
  • Нелинейные магнитные цепи постоянного потока Электромагнитное поле, которое лежит в основе всех многообразных явлений и процессов, исследуемых в электротехнике, имеет две равнозначные стороны – электрическую и магнитную. Как известно, в электрической цепи под воздействием источников энергии возникают электрические токи, которые протекают по электрическим проводам. Подобно электрическим цепям существуют также магнитные цепи, состоящие из магнитных проводов или кратко магнитопроводов, в которых под воздействием магнитодвижущих сил (МДС) возникают и замыкаются магнитные потоки Ф. Формальную схожесть или аналогию между электрическими и магнитными цепями в дальнейшем будем именовать принципом двойственности. Следует помнить, что при формальной схожести электрические и магнитные явления физически различны.
  • Нелинейные цепи переменного тока. Общая характеристика нелинейных цепей переменного тока и методов их исследования Нелинейные цепи переменного тока могут содержать в своей структуре нелинейные элементы любого рода: нелинейные резисторы u(i), нелинейные катушки ψ(i) и нелинейные конденсаторы q(u). Физические характеристики нелинейных элементов на переменном токе могут существенно отличаться от их аналогичных характеристик на постоянном токе. Существуют нелинейные элементы, у которых время установления режима соизмеримо с периодом переменного тока, т.е. проявляется инерционность. По этому показателю все нелинейные элементы разделяют на инерционные и безинерционные.
  • Переходные процессы в нелинейных цепях описываются системой нелинейных дифференциальных уравнений, составленных для схемы цепи по законам Кирхгофа. Расчет переходных процессов в нелинейных цепях сводится, таким образом, к решению системы нелинейных дифференциальных уравнений. Значительные трудности, возникающие при таких расчетах, обусловлены сложностью решения нелинейных дифференциальных уравнений.
  • Магнитные цепи переменного потока. Потери в сердечниках из ферромагнитного материала при периодическом перемагничивании. Магнитные цепи машин переменного тока, трансформаторов работают в режиме периодического перемагничивания, т.е. при переменном магнитном потоке ф(t). При периодическом перемагничивании ферромагнитных сердечников в них происходят потери энергии, которые выделяются в виде тепла. Эти потери условно можно разделить на два вида: а) потери на гистерезис рг и б) потери на вихревые токи рв. Потери на гистерезис обусловлены явлением гистерезиса
  • Электростатическое поле и емкость двухпроводной линии Пусть требуется рассчитать электростатическое поле и емкость двухпроводной линии с заданными геометрическими размерами (радиус проводов R, межосевое расстояние d, радиус R соизмерим с расстоянием d). Провода линии не заземлены, к линии приложено постоянное напряжение U
  • Векторный потенциал магнитного поля Пусть требуется рассчитать магнитное поле в однородной среде (m=const) , в которой протекает электрический ток, плотность которого задана в виде некоторой функции координат . Для определения векторов поля  и  необходимо решить систему уравнений
  • Уравнения Максвелла в комплексной форме Если векторы поля  и  изменяются во времени по синусоидальному закону, то синусоидальные функции времени могут быть представлены комплексными числами и, соответственно, сами векторы будут комплексными